Aufgabenteil 1

Aufgabe 11


Aufgabenstellung:

Mischungsplanung

Derartige Aufgaben kommen bei der Bestimmung von Metalllegierungen, aber auch bei der Zusammensetzung von z. B. Futtermittelmischungen vor. Eine vereinfachte Problemstellung aus diesem Bereich, die zu einer Minimumaufgabe führt:

Aus 2 Futtermittelsorten F1 und F2 soll eine Mischung mit minimalen Kosten zusammengestellt werden, wobei mindestens 3000 cal und 100 g Eiweiß in der Mischung enthalten sein sollen; auf 500 g bezogen koste F1 DM 0,60 und F2 DM 2,10. F1 enthalte je 500 g 1000 cal und 25 g Eiweiß; F2 enthalte 2000 cal und 100 g Eiweiß. Es sind Zielfunktion, Restriktionen und Nichtnegativitätsbedingungen zu formulieren. Gefragt ist nach den Mengen x1 und x2 (Einheiten 500 g).

Für die Zielfunktion ergibt sich:

    K = 0,6 x1 + 2,1 x2 --> Min    (1)

Um die Restriktionen aufzustellen, hilft folgende Überlegung: Es sollen mindestens 3000 cal in der Mischung enthalten sein, d. h. die Anzahl cal muss ≥ 3000 sein. Kalorien sind enthalten in F1 und F2, und zwar 1000 bzw. 2000 je Mengeneinheit von 500 g. Damit gilt:

    1000 x1 + 2000 x2 ≥ 3000       (2)

Für den Eiweißgehalt gilt analog:

    25 x1 + 100 x2 ≥ 100           (3)

(2) und (3) werden umgeformt zu:

    x1 + 2 x2 ≥ 3                  (4)  
    x1 + 4 x2 ≥ 4

Auch hier müssen die Nichtnegativitätsbedingungen erfüllt sein:

    xi ≥ 0 (i = 1, 2)              (5)

Um eine Lösung zu finden, benutzt man wieder ein Koordinatensystem mit den Achsen x1 und x2. Indem man zunächst nur die Gleichheitszeichen in (4) betrachtet und wechselweise x1 bzw. x2 Null setzt, erhält man die Restriktionsgeraden (siehe Abb.). Wegen der Größerzeichen in (4) ist zudem der Bereich oberhalb dieser Geraden interessant, wodurch in Verbindung mit (5) der aus der Abbildung ersichtliche Lösungsraum entsteht.

Lösungsraum und optimale Lösung der Minimumaufgabe


Um das Minimum an Kosten zu erreichen, löst man die Zielfunktion nach x2 auf, setzt K z. B. gleich 4,2 und erhält:

    x2 = -2/7 x1 + 2

Diese Gerade liegt zwar im Lösungsraum, ihr Wert K entspricht jedoch nicht dem Minimum. Dieses erhält man vielmehr dann, wenn man die Gerade so lange parallel zu sich selbst in Richtung Koordinatenursprung verschiebt, bis sie den Lösungsraum gerade noch berührt. Dies ist im Punkte (2 /0,5) der Fall, womit die gestellte Aufgabe gelöst ist, d. h. 1 kg der Sorte F1 und 250 g der Sorte F2 ergeben die Mischung mit minimalen Gesamtkosten von DM 2,25.