Aufgabenteil 1

Aufgabe 3


Aufgabenstellung:

Ein Unternehmen stellt Konserven her (etwa Obst- oder Gemüsekonserven oder auch Lacke, Öle in Dosen o.ä.). Das Erzeugnis wird 1 kg und 2 kg-Dosen abgefüllt und verkauft, wobei im einzelnen die folgenden, stark vereinfachten Voraussetzungen unterstellt werden.

Auf einer Produktionsanlage, auf der gekaufte Bleche zu Dosen gefertigt werden, dauert die Fertigstellung von 100 Dosen gleich welcher Größe 1 Stunde. Die Anlage kann höchstens 70 Stunden pro Woche in Betrieb sein. Von dem Erzeugnis, welches ohne Abfälle in die Dosen gefüllt wird, können bis zu 10.000 kg pro Woche durch einen vorgeschalteten Produktionsgang bereitgestellt werden. Die Verkaufsabteilung kann pro Woche durch einen 6.000 kg in 1 kg-Dosen und 8.000 kg in 2 kg-Dosen absetzen. Der Stückgewinn, hier als Deckungsbeitrag im Sinnes eines Bruttogewinns verstanden, beträgt bei der 1 kg-Dose 2 Dpf und bei der 2 kg-Dose 3 Dpf.

Wieviel und welche Dosen soll das Unternehmen herstellen, um unter diesen Voraussetzungen pro Woche einen maximalen Gewinn zu erzielen? Man kann davon ausgehen, dass die Dosen nur in Einheiten zu 100 Stück hergestellt und verkauft werden können, so dass die Variablen x1 und x2 die Dimension 100 Stück 1 kg-Dosen und 100 Stück 2 kg-Dosen erhalten.
 

Musterlösung:

Da in 1 Stunde gerade 100 Dosen erstellt werden können, lautet die Ungleichung, die sich aufgrund der begrenzten Kapazität der Produktionsanlage ergibt:

            x1 + x2 <= 70

Für 100 Stück 1 kg-Dosen werden 100 kg und für 100 Stück 2 kg-Dosen werden 200 kg des zu verkaufenden Erzeugnisses benötigt, von dem bis zu 10.000 kg pro Woche eingeplant werden können, so dass die diesbezügliche Ungleichung wie folgt lautet:

        100 x1 + 200 x2 <= 10000
    bzw.
             x1 +   2 x2 <=  100

Die Absatzbeschränkungen können folgendermaßen abgeleitet werden: Aus "6000 kg in 1 kg-Dosen pro Woche" folgt "60 * 100 Stück 1 kg-Dosen pro Woche", also

            x1 <= 60

Aus "8000 kg in 2 kg-Dosen pro Woche" folgt "40 * 100 Stück in 2 kg-Dosen pro Woche", also

            x2 <= 40

Der Stückgewinn pro 100 Dosen beträgt 2 bzw. 3 DM, so dass die Zielfunktion folgende Form hat:

             2x1 + 3x2  -->  max !

Zusammenfassend erhält man folgendes lineare Programm:

       x1       <=  60
             x2 <=  40
       x1 +  x2 <=  70 
       x1 + 2x2 <= 100 

      2x1 + 3x2 --> max 
      x1, x2 >= 0