Aufgabenteil 1

Aufgabe 1


Aufgabenstellung:

Ein Betrieb benötigt zur Herstellung zweier Produkte vier verschiedene Maschinen. Wir wollen sie mit A, B, C und D bezeichnen. Von der Maschine A stehen 16 Einheiten, von B 10 Einheiten, von C 16 Einheiten und von D 12 Einheiten zur Verfügung. Nach den technologischen Angaben braucht man zur Herstellung einer Einheit des ersten Produktes je 2, 2, 4 bzw. 0 Einheiten der einzelnen Einsatzgrößen. Diese Angaben werden die technischen Koeffizienten des ersten Produktes genannt. Für das zweite Produkte sind diese Koeffizienten 4, 1, 0 und 4. Auf Grund der betrieblichen Kalkulation wissen wir ferner, dass jedes einzelne Stück des ersten Produkts einen Gewinn von zwei Geldeinheiten und jedes einzelne Stück des zweiten Produkts einen Gewinn von drei Geldeinheiten bringt. Wieviel Stück muss der Betrieb von den einzelnen Produkten herstellen, wenn er den maximalen Gewinn erzielen will?

Musterlösung:

Um die Übersicht zu erleichtern, fassen wir die Angaben in einer Tabelle zusammen:


  Technische Koeffizienten  
Maschinen Produkt 1 Produkt 2 Kapazität  
A 2 4 16
B 2 1 10
C 4 0 16
D 0 4 12
Gewinn 2 3  

 

Wir nehmen jetzt an, dass x1 Einheiten des ersten Produktes und x2 Einheiten des zweiten Produktes hergestellt werden. Diese vorläufig noch nicht bekannten Größen (Variablen) können keine negativen Werte annehmen, d.h., sie müssen die Bedingung

x1, x2 >= 0

erfüllen. Gilt für jede einzelne Einsatzgröße, dass ihre Ausnutzung der Größe der Produktion proportional ist, so können die weiteren Bedingungen mit Hilfe der vier Ungleichungen

2x1 + 4x2 <= 16
2x1 + 1x2 <= 10
4x1       <= 16
      4x2 <= 12

formuliert werden. Diese Ungleichungen drücken die Forderungen aus, dass höchstens die zur Verfügung stehenden Mengen der einzelnen Maschinen benutzt werden können.
Das Programm muss so gewählt werden, dass der höchste Gewinn erzielt wird. Er wird durch den Ausdruck

2x1 + 3x2

dargestellt. Die Forderung, den Gewinn zu maximieren, schreiben wir in der Form:

2x1 + 3x2 -> max !


Solver-Aufruf (nur VisualOR)