Aufgabe 1
Aufgabenstellung:
Ein Betrieb benötigt zur Herstellung zweier Produkte vier verschiedene Maschinen. Wir
wollen sie mit A, B, C und D bezeichnen. Von der Maschine A stehen 16 Einheiten, von B 10
Einheiten, von C 16 Einheiten und von D 12 Einheiten zur Verfügung. Nach den
technologischen Angaben braucht man zur Herstellung einer Einheit des ersten Produktes je
2, 2, 4 bzw. 0 Einheiten der einzelnen Einsatzgrößen. Diese Angaben werden die
technischen Koeffizienten des ersten Produktes genannt. Für das zweite Produkte sind
diese Koeffizienten 4, 1, 0 und 4. Auf Grund der betrieblichen Kalkulation wissen wir
ferner, dass jedes einzelne Stück des ersten Produkts einen Gewinn von zwei Geldeinheiten
und jedes einzelne Stück des zweiten Produkts einen Gewinn von drei Geldeinheiten bringt.
Wieviel Stück muss der Betrieb von den einzelnen Produkten herstellen, wenn er den
maximalen Gewinn erzielen will?
Musterlösung:
Um die Übersicht zu erleichtern, fassen wir die Angaben in einer Tabelle zusammen:
Technische Koeffizienten | |||
Maschinen | Produkt 1 | Produkt 2 | Kapazität |
A | 2 | 4 | 16 |
B | 2 | 1 | 10 |
C | 4 | 0 | 16 |
D | 0 | 4 | 12 |
Gewinn | 2 | 3 |
Wir nehmen jetzt an, dass x1 Einheiten des ersten Produktes und x2 Einheiten des zweiten Produktes hergestellt werden. Diese vorläufig noch nicht bekannten Größen (Variablen) können keine negativen Werte annehmen, d.h., sie müssen die Bedingung
x1, x2 >= 0
erfüllen. Gilt für jede einzelne Einsatzgröße, dass ihre Ausnutzung der Größe der Produktion proportional ist, so können die weiteren Bedingungen mit Hilfe der vier Ungleichungen
2x1 + 4x2 <= 16
2x1 + 1x2 <= 10
4x1 <= 16
4x2 <= 12
formuliert werden. Diese Ungleichungen drücken die Forderungen aus, dass höchstens
die zur Verfügung stehenden Mengen der einzelnen Maschinen benutzt werden können.
Das Programm muss so gewählt werden, dass der höchste Gewinn erzielt wird. Er wird
durch den Ausdruck
2x1 + 3x2
dargestellt. Die Forderung, den Gewinn zu maximieren, schreiben wir in der Form:
2x1 + 3x2 -> max !